180度的华丽转身相当于 -1, 而90度的侧影相当于负一的平方根。可见,虚数并不虚幻,而是充满了想象的空间。这是我们数学计算的结果,无可争辩。现在我们要问,转身就会改变吗?有没有什么在转过90度却仍然保持原来的方向?
在前面,我们说道,一个点的坐标如果是(x,y),那么绕原点转过90度之后它的坐标成为 (-y, x )。例如,如果一个点坐标是 (3, 4),方位在东北,转过90度之后,坐标就成了 (-4,3),方位在西北。读者可能会问,怎么可能转过90度还保持原来的方向呢?本来看到背影,转过90度就看到侧影了。
数学的想象是超越性的,对这样似乎答案明显否定的问题,数学家会迎头而上。一个点(x,y) 要保持原来的方向,只能相差一个常数因子成为 (c x, c y)。把上面90度转身的 (x, y) ---> (-y, x) 代入,我们有下面的方程组
-y = c x
x = c y
从第一个方程得出 x = - y/c ,代入第二个方程,得到 -y/c = c y。
我们发现 [ix]c^2 = -1[/ix], 因此,[ix]c= \pm \sqrt{-1} = \pm i[/ix] .
再把c 代入 第一个方程,我们发现 [ix]x= \pm i y[/ix].
也就是说, (1, i) 与 (1, -i) 这样的点在转动90度后,方向不会改变。
既然转90度方向不改变,那么不管怎么转,方向也不会改变,这似乎是很显然的结论。
(未完待续)