日志
柱子砸下的 F=ma
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在《科普自行车轮之神奇》我用牛顿第二定律分析了高速转动的车轮进动的问题。这个轮子进动看起来非常神奇，有兴趣的应该看一下相关视频。轮子这样横空而不倒，要简单的解释还真不容易，我在网上看到很多解释都稀里糊涂，才着手写了那篇博文。文中提到，如果看车轴与辐条系统（忽略辐条质量、不含轮圈），它受到轮圈重量产生的力矩，但没有倒下，那么这个平衡力矩从何而来？我文中用初中物理 F = ma 进行了解释与计算。
有的读者提出可以用力矩与角动量解释。确实，物理课本上是这么讲的，但这只是背书。角动量、力矩方程在经典力学里不是天外来客，而是从牛顿 F=ma 而来。所以，不用角动量，直接用 F=ma 解释，能够给人更为清晰的物理直觉。
为了更好的理解从 F=ma 到角动量，我们不妨试着解决下面的力学问题。如下图，一根长为 L，质量为M的柱子倒下，接触地点O处没有滑动，F=ma 。请问柱子砸到地面的时间。
柱子受到重力 Mg 与地面的作用力 N。但一开始准备套用 F=ma 立刻有个问题，那就是N的方向、大小未知。即使我们可以通过一些分析得出N的方向，大小也不知道。怎么办？ 学过大学普通物理的可能很快想到转动惯量、力矩等等，套公式即可。但我在上面说了，牛顿力学就是 Ｆ＝ｍａ，那些都是 F=ma 推出来的，现在我们只准用 F=ma。
为了解决这个问题，我们不妨把柱子看成若干小段。小段１对小段２的作用力是 F12; 小段2对小段1的作用力的 F21 。如此类推。我们列出各段的牛顿动力学方程
[ix]m_1 \ g + N + F_{2,1} = m_1 \ a_1\\
m_2 \ g + F_{1,2} + F_{3,2} = m_2 \ a_2\\
m_3 \ g + F_{2,3} + F_{4,3} = m_3 \ a_3\\...\\ m_n \ g + F_{n-1, n} = m_{n} \ a_n[/ix]
上面的 g, N ,F , a 均为向量。上面的方程组中 F 为各小段之间的力（未知），我们称之为内力。利用牛顿第三定律 F12 = - F21 ，把上面的方程两边相加可以消去所有内力，但 N 却无法消去。有没有别的办法简化上面的方程组呢？
在上面的方程组两边叉乘该段的位置 r，然后再相加，我们发现同样可以把内力消去。例如
[ix]\vec{r}_{1} \times \vec{F}_{2,1} + \vec{r}_{2} \times \vec{F}_{1,2} = (\vec{r}_{1}-\vec{r}_{2}) \times \vec{F}_{1,2} =0[/ix]
按照这个方案，我们得到下列方程
[ix]r_{1} \times N + \sum_{1}^{n} m_i\ r_{i} \times g = \sum_{1}^{n} m_i \ r_i \times a_i[/ix]
取 O 为坐标原点，r1 =0，上面方程的 N 项就消失了。
[ix]\sum_{1}^{n} m_i \ r_i \times a_i = \sum r_i \times \frac{d p_i}{dt} = \sum \left[ \frac{d(r_i \times p_i)}{dt} - \frac{dr_i}{dt} \times p_i \right] = \frac{d \left(\sum{r_i \times p_i} \right)}{dt}[/ix]
上面我们利用了 速度 dr/dt 与 动量 p 方向相同，因此两者叉乘为零的关系。
至此，为了解决这个柱子倒下的问题，我们从 F=ma 推出了相应的动力学方程。如果柱子质量分布是均匀的，\theta 为柱子与地面的夹角，则
[ix]\sum m_i \ r_i \times g = g \cos \theta \sum m_i \ r_i = \frac{1}{2} MgL\cos\theta[/ix]
[ix]\sum r_i \times p_i = - \sum m_i \ r_i \ r_i \frac{d\theta}{dt} = - \frac{1}{3} ML^2 \frac{d\theta}{dt}[/ix]
因此，动力学方程为
[ix]\frac{1}{3} ML^2 \frac{d^2\theta}{dt^2} = - \frac{1}{2} MgL \cos\theta[/ix]
或者说
[ix] \frac{d^2\theta}{dt^2} = - \frac{3g}{2L} \cos\theta[/ix]
由此可见，虽然柱子砸下来的分量当然与重量有关，但砸下来的速度却与重量无关。
学过力矩及角动量的读者当然可以从上面看到它们的身影。
