日志
科普自行车轮之神奇
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自行车拐弯时，车身倾斜可以不倒。这个现象大家大概都知道，其原理很多人可能在书上看过。今天在网上看到了一个视频，把相关的物理展示得更为明显，更加令人感到神奇。把自行车轮子转动起来，达到相当高的转速，然后用一根绳子吊这自行车轴的一端，转动的轮子居然保持了横在空中重心悬空。如果轮子不是转动的，结果我们都知道，轮子会倒翻过去，为什么转动的轮子能这样悬着呢？（点击查看视频）
上图中，如果把车轴与辐条作为一个系统，以栓绳子那端为中心，它受到了车轮重力产生的力矩。但车轴-辐条系统上的总力矩显然是零，否则没法横着而会倒下。那么这个抵消重力力矩的反向力矩怎么来的呢？对于上述问题，物理课本里的解释用到角动量、力矩等概念。轮子如上图这样悬着，重力对系统产生的力矩按右手法则计算，方向是水平向外，轮子角动量是水平向左，力矩使轮子转轴在水平面上进动，而不是倒下。我们说，对于这个车轮，重力产生的力矩使其角动量方向不断变化。这是一个课本的说明。但这个说明却没有直观地解释车轴-辐条上的力矩是怎么抵消的。在网上看到有人在讨论这个问题，大家都觉得费解。对此，我之前也没有仔细思考过。下面我试图对此进行直观分析，假定我不知道角动量，只具备初中物理（也就是知道向心力、与力矩的平衡），怎么解释？
为了简化问题起见，我把轮子的轮圈换成四个质量为 m 的质点。如下图，轮子半径为 R，轴长 为L。
从 O点计算，车轴-辐条系统受到重力产生的力矩为 4 mg L ，方向是使轮子倒下。现在我们考虑自转+进动的轮子，从O看以角速度为[ix]\omega[/ix]逆时针转动；同时从上面朝下看，车轴在以 角速度[ix]\Omega[/ix]逆时针在水平面转动。四个质点正好处于图中的位置。现在我们用牛顿第二定律看看情况如何。
从上面朝下看，球1的速度是 [ix]\omega R + \Omega L [/ix]， 球3 的速度却是 [ix] -\omega R + \Omega L [/ix]，方向水平。球2、球4的速度都是[ix]\omega R [/ix]，方向垂直。根据牛顿第二定律，球1，球3绕绳子的向心力分别是
[ix]F_{1} = m \frac{(\omega R + \Omega L)^2}{L}[/ix]
[ix]F_{3} = m \frac{(\omega R - \Omega L)^2}{L}[/ix]
小球受到的向心力来自辐条，小球对辐条的反作用力大小相等方向相反。由于球1与球3的向心力不同，其反作用力产生的力矩无法抵消，其总力矩为：
[ix]\tau = R F_{1} - R F_{3} = \frac {mR}{L} \left[ (\omega R + \Omega L)^2 - (\omega R - \Omega L)^2 \right]\\
= 4mR^2 \omega\hspace{1mm} \Omega[/ix]
很好，我们算出了轮子进动时小球对车轴-辐条系统的力矩。为了是轮子悬着，我们要求车轴-辐条系统上的总力矩为零
[ix]4mg L + 4mR^2 \omega\hspace{1mm} \Omega=0[/ix]
由此解出：
[ix] \Omega= - \frac{gL}{R^2\omega}[/ix]
前面这个负号说明进动方向从上面看应该是顺时针的。上述结果说明，如果整个系统绕绳子转动，可以产生一个力矩抵消重力的力矩，而且轮圈自转越快，这个整体转动需要的速度越小。有了这个简单的物理图像，我们可以对轮圈进行计算在进动时小球反作用力产生的力矩，具体的计算需要把轮圈切成小块然后求和，我列在文末注一。
至此，我们用牛顿定律与初中力学概念找出了轮子不倒的答案：当车轴在水平面转动时（进动），由于轮子上部的速度跟下部的速度相反，轮子整体进动时，上下部分的水平速度一个相加、一个相减，因而大小不同，向心力也不同，这样它们在辐条上的反作用力就产生了一个力矩，在适当的进动角速度下，这个力矩可以抵消重力的力矩，而使轮子能够重心悬空。
当然，以上结果跟用角动量方程得出的完全一致。由上面的推导也可以看出角动量概念的巧妙。从数学上角动量方程只是在牛顿方程两侧用 [ix]\vec{r}[/ix] 叉乘，但把方程一叠加可以消去了所有内力的贡献。对于像上述轮子的问题，内力相当复杂，如果直接用牛顿定律分析相对麻烦，用角动量则很简单。
注一：轮圈进动时力矩的计算
设轮圈单位长度的质量为 \lambda, 我们计算其总力矩
[ix]\tau = \int_0^{2\pi} R \sin\theta \hspace{1mm} \lambda R d\theta \frac{(\omega R \sin\theta + \Omega L)^2}{L} \\ = 2\pi\lambda R R^2 \omega \Omega = MR^2\omega \hspace{1mm}\Omega[/ix]
以上其中M为轮圈质量。上面的计算中很明显，正弦的三次方与一次方积分结果是零，只剩那个交叉项。整个结果与之前的完全一致。更一般的情况当然可以更一般的计算。牛顿第二定律 F = dp/dt ，力等于动量的变化率。两边用位置向量叉乘，则是力矩等于角动量的变化率。从这里可以看出角动量概念的妙处--直接把内力的各种贡献抵消了。
补充：
有读者可能会问，轮子起始的时候只是自转，没有进动，为什么挂到绳子上后开始进动了呢？
这是因为轮子在没有进动时，开始会倾斜倒下，但在倒下的过程中，由于上面类似的原因，产生了一个力矩使轮子开始进动，方程如下
[ix]I_1 \frac{d\Omega}{dt}= I_2\omega\frac{d\phi}{dt}
[/ix]
其中 [ix]\phi[/ix] 为轮轴跌下的角度，I_1 为 轮圈绕垂直轴的转动惯量，I_3为自转转动惯量。
因此
[ix]
\Omega = \frac{I_2 \omega}{I_1} \phi[/ix]
