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日志

无限-球的体积为零

热度 1已有 3991 次阅读2016-3-24 07:14 |个人分类:科普|系统分类:教育

前些时候在图书馆看了篇文章,讲N-球的体积。以前还真没思考过这个问题。所以,这里我把这个问题再总结下。

我们常说的球是三维的,球的半径为 R,则球的体积为 [ix]\frac{4}{3}\pi R^3[/ix]。球面积为 [ix]4\pi R^2[/ix]。别小看了这个球体积公式。阿基米德推导出来了,但中国古代数学家经过近两千年努力也未能攻破。这成了古代中国智慧的一个缺憾。

那么其他空间维度的球呢?

1 维球是一个线段,体积是 2R;
2维的球是一个圈饼。体积是 [ix]\pi R^2[/ix],表面积是 [ix]2\pi R[/ix]。

经过计算,我们得出下列递推公式 (参见: https://en.wikipedia.org/wiki/N-sphere ):

 n+1 维球的表面积 [ix]A_{n+1} [/ix]等于 n-1 维球的体积[ix]V_{n-1} [/ix]乘以 [ix]2\pi R[/ix];
 n+1 维球体积 [ix]V_{n+1}[/ix] 等于 n+1 维球的表面积 [ix]A_{n+1}[/ix] 乘以球半径 R 除以 n+1 。
 
如此递推:
[ix]V_1=2R\\ A_2 = 2\pi R\\ V_2 = \pi R^2\\ A_3= 4\pi R^2\\ V_3 = \frac{4}{3} \pi R^3\\ A_4 = 2\pi^2 R^3\\ V_4 = 2\pi^2 R^4/4 \\ A_5=\frac{8}{3}\pi^2 R^4\\ V_5 = \frac{8}{15}\pi^2 R^5\\ A_6 = \pi^3 R^5\\ V_6= \frac{1}{6} \pi^3 R^6 [/ix]

如果球半径为1,可以发现,当空间维数超过四,球体积数值就开始下降。因为分子上只是指数,而分母是阶乘,随着维数增高,球体积会变得越来越小。如果空间维数为无穷,任何有限半径的球的体积都为零。

一个边长为2R的立方体内只能放一个半径为R的球, 这个 N 维立方体的体积为 [ix]2^N R^N[/ix]。
边长为2的无限维立方体的体积为无限大,里面只能放一个半径为 1 的球,而这个球的体积为零

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发表评论 评论 (2 个评论)

回复 稻草 2016-3-24 08:10
这就对了,空间消失了,表现为时间,或者心理了。这就是统一论的空间、时间、心理的相互转换态。
回复 稻草 2016-3-24 08:12
空间、时间、心理是不存在的,是主观的观念量,只有与之对应的物质、运动和思维是客观存在的。

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