前些时候在图书馆看了篇文章,讲N-球的体积。以前还真没思考过这个问题。所以,这里我把这个问题再总结下。
我们常说的球是三维的,球的半径为 R,则球的体积为 [ix]\frac{4}{3}\pi R^3[/ix]。球面积为 [ix]4\pi R^2[/ix]。别小看了这个球体积公式。阿基米德推导出来了,但中国古代数学家经过近两千年努力也未能攻破。这成了古代中国智慧的一个缺憾。
那么其他空间维度的球呢?
1 维球是一个线段,体积是 2R;
2维的球是一个圈饼。体积是 [ix]\pi R^2[/ix],表面积是 [ix]2\pi R[/ix]。
n+1 维球的表面积 [ix]A_{n+1}
[/ix]等于 n-1 维球的体积[ix]V_{n-1}
[/ix]乘以 [ix]2\pi R[/ix];
n+1 维球体积 [ix]V_{n+1}[/ix] 等于 n+1 维球的表面积 [ix]A_{n+1}[/ix] 乘以球半径 R 除以 n+1 。
如此递推:
[ix]V_1=2R\\
A_2 = 2\pi R\\
V_2 = \pi R^2\\
A_3= 4\pi R^2\\
V_3 = \frac{4}{3} \pi R^3\\
A_4 = 2\pi^2 R^3\\
V_4 = 2\pi^2 R^4/4 \\
A_5=\frac{8}{3}\pi^2 R^4\\
V_5 = \frac{8}{15}\pi^2 R^5\\
A_6 = \pi^3 R^5\\
V_6= \frac{1}{6} \pi^3 R^6
[/ix]
如果球半径为1,可以发现,当空间维数超过四,球体积数值就开始下降。因为分子上只是指数,而分母是阶乘,随着维数增高,球体积会变得越来越小。如果空间维数为无穷,任何有限半径的球的体积都为零。
一个边长为2R的立方体内只能放一个半径为R的球, 这个 N 维立方体的体积为 [ix]2^N R^N[/ix]。
边长为2的无限维立方体的体积为无限大,里面只能放一个半径为 1 的球,而这个球的体积为零。