《好奇孩子的三个数乘法问题(1)》中说到,哈密尔顿教会他两儿子进行两个数一组的乘法之后,两儿子提出了一个问题,三个数一组怎么算乘法。哈密尔顿为这个问题思考了多年,每天吃早饭他两儿子就会追问三个数一组怎么乘起来,他只能说,不知道。有一天他经过一座桥时突然想到,三数之间不存在乘法 ,要建立类似一对数之间的乘法,必须要有四个数。一时之间,他按捺不住激动的心情,在桥头的石头上刻下了下列式子:
[ix]i^2 = j^2 = k^2 = i jk = -1[/ix]
之后100多年,英国学界乃至西方学界人士到伦敦,往往要去那座桥上瞻仰一下上面的刻字。。。
从那天开始,哈密尔顿全身心投入了相关的研究,写了一本几百页的著作 ,但因为写的比较难懂,其意义很长时间不被人理解,也没有得到广泛的运用。这里,我来通俗的讲讲。
为此,我们先回到《转身的想象 (1)》,里面提到转180度相当于 -1,那么转90度,就是 -1 的平方根,也就是虚数 i 。这是两位空间的情形,只有一种转动。如果扩展到三维空间呢?我们发现转动有三种方向,可以绕三个不同的轴转。参见下图手臂绕肩膀的转动,一种是侧上、侧下,一种是前上、前下,一种是水平前后。
把转180度作为-1,那我们现在有三种不同的180度转动,也就有三种不同的90度转动,且让我们称之为 i, j, k 。我们有
[ix]i^2 = j^2 = k^2 = -1[/ix] 。
现在把手伸到正前方,向上转90度到头顶,这相当于 i ,然后向侧下转90度,这相当于j, 我们发现手臂的位置相当于顺时针水平转动了90度,也就是 k 。
因此, [ix]ij = k[/ix] 。
将左右两边从右方乘以k,我们有 [ix]ij k = k^2 [/ix];,我们知道 [ix]k^2 =-1[/ix], 因此 [ix]ijk =-1[/ix]。
类似的,从[ix]ijk =-1[/ix],从左边乘上 i, 我们有 [ix]i^2jk =-i[/ix], [ix]jk =i[/ix];继续 我们得出 [ix]ik = -j[/ix]。
另外, [ix]ij=k, ijj = kj, -i = kj, -i i = k j i, 1=kji, k = k^2 ji [/ix]。 我们得出 [ix]ji = -k[/ix]。
对比前面的[ix]ij = k[/ix],我们发现这个i,j,k 之间的乘法的顺序不能交换,交换顺序之后,符号相反。
如果手臂初始是向右侧水平伸出,先侧向下 (j) ,然后从前方向上90度(i) ,我们发现手臂是逆时针水平转了90度 ,验证了 [ix]ij = -ji = k[/ix]。
未完待续----