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科普：用中学数学推导出行星椭圆轨道方程 (3）-- 传统推导
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大家都知道牛顿看到苹果联想到万有引力的故事。其实这个神话是牛顿编造的。最先提出万有引力概念的其实是胡克，是胡克意识到其实行星本来是做直线运动，引力使之速度发生了转折。也是胡克首先想到了平方反比率，并且在一封信中告诉了牛顿。但胡克数学能力不如牛顿，不能进行定量计算。而牛顿在《自然哲学的数学原理》一书中又刻意不提胡克的贡献，结果是我们对他的了解仅限于弹簧的所谓胡克定律。相关历史，有兴趣的可以去做更多了解。
我查看了牛顿《自然哲学的数学原理》的行星轨道部分之后，发现牛顿似乎并没有导出轨道的椭圆公式，而是考虑轨道与圆接近的时候，轨道与圆轨道之间的差别。我想他的大概思路应该是这样的，在行星离太阳最远处，其速度是横向的，如果速度大小不足以进行圆周运动，一部分引力使行星在径向做加速运动，考虑短时间内的变化，我们应该可以推出行星的位置变化，再与椭圆对照。
计算这个椭圆轨道并非易事。如果我们知道行星在某一时刻的位置与速度，那么它的轨道就可以确定了。但即使我们知道这个轨道是椭圆，我们怎么把轨道定下来？ 首先椭圆是扁的，它的长轴有个方向，如果要我们光根据一个位置与速度，要定下这个椭圆的长轴方向都不能直接搞定---除非行星正好是在最低点或者最高点。
不过，先让我们假设行星正在其最高点（或者说最远点），其离引力源的距离为d，速度为v, 如果假设我们已经知道轨道是椭圆，我们能否用中学数学确定这个椭圆的形状、大小？ 在这个最远点，行星速度不够，不足以维持圆周运动，于是会加速“下落”，减小离地的距离。让我们运用 F/m，加速度有两个贡献，一项是下落的加速度a，一个是试图圆周运动的加速度 v^2/d, 因此
[ix] a + \frac{v^2}{d} = \frac{GM}{d^2}[/ix]，其中M是引力源太阳的质量。
因此"下落“加速度为，[ix] a = \frac{GM}{d^2} - \frac{v^2}{d}[/ix]
因此，在短时间 t 内，行星下落距离为 [ix] s= \frac{1}{2} a t^2 =\frac{1}{2}[ \frac{GM}{d^2} - \frac{v^2}{d}] t^2[/ix]。
下面我们把时间表示为这段时间内卫星转过的角度[ix]\theta[/ix]，因为时间很短，角度很小，我们有 [ix]\theta = \frac{vt}{d}[/ix], 因此，[ix]t = \frac{\theta d}{v}[/ix]，代入上面的s，
[ix]s =\frac{1}{2}[ \frac{GM}{d^2} - \frac{v^2}{d}] (\frac{\theta d}{v})^2= \frac{1}{2}[\frac{GM}{v^2} -d]\theta^2[/ix]
现在我们的任务是把这个与椭圆在最远点的情况进行比较。椭圆方程是 [ix]r = a \frac{1-e^2}{1-e\cos\theta}[/ix]，因此，[ix]d=a(1+e)[/ix]。角度很小时 [ix]\cos\theta = 1- 2 \sin^2\frac{\theta}{2} \approx 1-\theta^2/2[/ix],
因此，
[ix] r= a(1-e^2)\frac{1}{1-e + e\theta^2/2} = a(1-e^2) \frac{1}{(1-e)[1+\frac{1}{2}\frac{e\theta^2}{1-e}]} \approx a(1+e) [ 1- \frac{1}{2}\frac{e\theta^2}{1-e}] = d [ 1- \frac{1}{2}\frac{e\theta^2}{1-e}][/ix]
因此，[ix]d\frac{1}{2}\frac{e\theta^2}{1-e} = \frac{1}{2}[\frac{GM}{v^2} -d]\theta^2[/ix]
经过简单的代数运算，这个一元一次方程的解是
[ix]e = 1 - \frac{v^2d}{GM}[/ix]
这是一个及其简单的公式---如果我们注意到 GM/d 就是在距离d处维持圆周运动的速度的平方。
而 椭圆的长轴半径[ix]= d/(1+e) = \frac{d}{2-\frac{v^2d}{GM}}[/ix]
这样我们根据卫星最远点的距离与速度就确定了其椭圆轨道的参数。读者可以试着验证一下。因为我们从一开始假定了椭圆，这个公式只适用于椭圆轨道的情况。从一般圆锥截线的公式出发，由最近点的数据可以得到更一般的公式。我算了一下 用最近点的速度与距离，得出 [ix]e = \frac{u^2h}{GM} -1[/ix]---这里的u是最近处的速度，h是最近处的距离，为了区分我将符号变了一下。这个公式的好处是适用于双曲轨道的情况。
上面的计算是假定了轨道是椭圆，然后通过最远点的速度与距离确定了椭圆的形状与大小。到此，我们应该基本重复了牛顿的计算。但这与证明轨道是一个椭圆还有一定距离。
用中学数学证明轨道是椭圆是我们下一集的任务。
